【題目】如圖所示,△ABC內(nèi)接于圓O,D是 的中點(diǎn),∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:BF是△ABE外接圓的切線;
(2)若AB=3,AC=2,求DB2﹣DA2的值.
【答案】
(1)解:設(shè)△ABE外接圓的圓心為O′,連結(jié)BO′并延長(zhǎng)交圓O′于G點(diǎn),連結(jié)GE,
則∠BEG=90°,∠BAE=∠BGE.
因?yàn)锳F平分∠BAC,
所以 ,
所以∠FBE=∠BAE,
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°,
所以O(shè)′B⊥BF,
所以BF是△ABE外接圓的切線
(2)解:連接DF,則DF⊥BC,
所以DF是圓O的直徑,
因?yàn)锽D2+BF2=DF2,DA2+AF2=DF2,
所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2.
因?yàn)锳F平分∠BAC,
所以△ABF∽△AEC,
所以 ,
所以ABAC=AEAF=(AF﹣EF)AF,
因?yàn)椤螰BE=∠BAE,
所以△FBE∽△FAB,從而B(niǎo)F2=FEFA,
所以AB﹣AC=AF2﹣BF2,
所以BD2﹣DA2=ABAC=6
【解析】(1)設(shè)△ABE外接圓的圓心為O′,連結(jié)BO′并延長(zhǎng)交圓O′于G點(diǎn),連結(jié)GE,則∠BEG=90°,∠BAE=∠BGE,可證∠FBE=∠BAE,進(jìn)而證明∠FBG=90°,即可得證BF是△ABE外接圓的切線.(2)連接DF,則DF⊥BC,由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 , 利用相似三角形的性質(zhì)可得ABAC=AEAF=(AF﹣EF)AF,由△FBE∽△FAB,從而B(niǎo)F2=FEFA,得AB﹣AC=AF2﹣BF2 , 進(jìn)而可求BD2﹣DA2=ABAC=6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg), 其頻率分布直方圖如下:
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計(jì)A的概率;
(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50 kg | 箱產(chǎn)量≥50 kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示為某幾何體形狀的紙盒的三視圖,在此紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體,若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng),則小正四面體的棱長(zhǎng)的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)為平面上動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,且.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn),在處分別作軌跡的切線交于點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù),
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義法加以證明;
(3)若函數(shù)在上的最小值為,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|2x2﹣3x﹣9≤0},B={x|x≥m}.若(RA)∩B=B,則實(shí)數(shù)m的值可以是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y=f(x)為二次函數(shù),若y=f(x)在x=2處取得最小值﹣4,且y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4﹣1:幾何證明選講
如圖,已知PA是⊙O的切線,A是切點(diǎn),直線PO交⊙O于B、C兩點(diǎn),D是OC的中點(diǎn),連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,若PA=2 ,∠APB=30°.
(1)求∠AEC的大;
(2)求AE的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若橢圓和橢圓的焦點(diǎn)相同且.給出如下四個(gè)結(jié)論:
①橢圓與橢圓一定沒(méi)有公共點(diǎn) ②
③ ④
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
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