Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值，并判斷f（x）的單調(diào)性（不用證明）；
（2）已知不等式f（logm ）+f（﹣1）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義域為R上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，

∴ =0，

解得a=1，

∴f（x）= =﹣1+ ，

∵y=2x是R上的增函數(shù)，

∴f（x）在R上為減函數(shù)，

（2）解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，

∴f（logm ）+f（﹣1）＞0

等價于f（logm ）＞﹣f（﹣1）=f（1），

又∵f（x）是R上的減函數(shù)，

∴l(xiāng)ogm =logmm，

∴當(dāng)0＜m＜1時， ＞m，即0＜m＜ ；

當(dāng)m＞1時， ＜m，即m＞1；

綜上，m的取值范圍是m∈（0， ）∪（1，+∞）．

【解析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（0）=0恒成立，求出a的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為：f（logm ）＞﹣f（﹣1）=f（1），再由函數(shù)的單調(diào)性得logm ＜1，利用對數(shù)的單調(diào)性對m進(jìn)行分類討論，再求出實數(shù)m的取值范圍．