在如圖的幾何體中，平面為正方形，平面為等腰梯形，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）先利用余弦定理以及得到與的等量關(guān)系，然后利用勾股定理證明，再結(jié)合已知條件并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法二是在中利用正弦定理并結(jié)合三角函數(shù)求出的大小，進(jìn)而得到，再結(jié)合已知條件并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是將進(jìn)行平移使得與平面相交，即取的中點(diǎn)，通過證明四邊形為平行四邊形來達(dá)到證明的目的，于是將問題轉(zhuǎn)化為求直線與平面的角的正弦值，取的中點(diǎn)，先證明平面，于是得到直線與平面所成的角為，最后在直角三角形中計(jì)算的值；解法二是建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值.
試題解析：（1）證明1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/61/2/fluwd1.png" style="vertical-align:middle;" />，，
在中，由余弦定理可得，
以．所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fd/d/1jgdl3.png" style="vertical-align:middle;" />，，、平面，
所以平面．
證明2：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2c/f/rhpdl2.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)，則，
在△中，由正弦定理，得.
為，所以．
整理得，所以.所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fd/d/1jgdl3.png" style="vertical-align:middle;" />，，、平面，
所以平面；
（2）解法1：由（1）知，平面，平面

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，AF=3．

（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn)．

（1）求證：PQ//平面BCE；
（2）求證：AM平面ADF；
（3）求二面角A-DF-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正方體中，已知是棱的中點(diǎn)．

求證：（1）平面，
（2）直線∥平面；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA底面ABCD，SA=AD，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，ANSC且交SC于點(diǎn)N．

（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：平面SAC平面AMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，,且，點(diǎn)是中點(diǎn)．

(1)求證：平面⊥平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，
求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，ADC-900,AB=AD=PD=1.CD=2.

(I)求證：BC平面PBD：
(II)設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，，試確定的值，使得二面角
E-BD-P的大小為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖三棱錐中，，是等邊三角形.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若二面角 的大小為，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.

(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．

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