Question

20．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x}+2，x≤1}\\{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若存在實數x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則x₂f（x₁）的取值范圍是（0，10）．

Answer 1

分析 作出函數f（x）的圖象，得到1＜x₂＜5．將x₂f（x₁）轉化為x₂f（x₂），利用一元二次函數的單調性的性質進行求解即可．

解答 解：當x≤1時，f（x）=-2^x+2∈（0，2]，
由$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=2得$\frac{1}{2}$x=$\frac{5}{2}$，得x=5，
若存在實數x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），
則1＜x₂＜5．
則x₂f（x₁）=x₂f（x₂）=x₂（$\frac{1}{2}$x₂-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
則函數在1＜x₂＜5上為增函數，
當x₂=1時，$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=0，
當x₂=5時，$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=10，
即0＜x₂f（x₁）＜10，
即x₂f（x₁）的范圍是（0，10），
故答案為：（0，10）

點評 本題主要考查分段函數的應用，根據條件將問題轉化為一元二次函數是解決本題的關鍵．