Question

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到距離為；
（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；
（2）、若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。
（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：。

Answer 1

解：（1）因為，所以……………………………………………2分
所以橢圓的方程為，伴隨圓的方程為.………………4分
（2）設(shè)直線的方程，由得 
由得…………………………6分
圓心到直線的距離為 ，所以………………………………8分
（3）①、當中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，
因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，
當方程為時，此時與伴隨圓交于點
此時經(jīng)過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是(或，
即為(或，顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線垂直.…………………………10分
②、當都有斜率時，設(shè)點其中，
設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，
由，消去得到，
即，……………………12分
，
經(jīng)過化簡得到：，
因為，所以有，…………………14分
設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，
所以滿足方程，
因而，即垂直.……………………………………………………16分

略