Question

【題目】某高速公路全程設(shè)有2n(n≥4，)個(gè)服務(wù)區(qū).為加強(qiáng)駕駛?cè)藛T的安全意識(shí)，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)服務(wù)區(qū)的入口處設(shè)置醒目的宣傳標(biāo)語(yǔ)A或宣傳標(biāo)語(yǔ)B.

（1）若每個(gè)服務(wù)區(qū)入口處設(shè)置宣傳標(biāo)語(yǔ)A的概率為，入口處設(shè)置宣傳標(biāo)語(yǔ)B的服務(wù)區(qū)有X個(gè)，求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）試探究全程兩種宣傳標(biāo)語(yǔ)的設(shè)置比例，使得長(zhǎng)途司機(jī)在走該高速全程中，隨機(jī)選取3個(gè)服務(wù)區(qū)休息，看到相同宣傳標(biāo)語(yǔ)的概率最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）兩種宣傳標(biāo)語(yǔ)1：1設(shè)置時(shí)，符合題設(shè)的概率最小，其最小值為

【解析】

（1）由題意得每個(gè)服務(wù)區(qū)入口處設(shè)置宣傳標(biāo)語(yǔ)B的概率為，則X~B(2n，)，由此可求出答案；

（2）由古典概型的概率計(jì)算公式可得，記這3個(gè)服務(wù)區(qū)看到相同的宣傳標(biāo)語(yǔ)的事件數(shù)為M，看到相同宣傳標(biāo)語(yǔ)的概率P＝， 設(shè)該高速公路全程2n個(gè)服務(wù)區(qū)中，入口處設(shè)置醒目的宣傳標(biāo)語(yǔ)A的有m(m，m≤2n)個(gè)，分類討論，利用數(shù)列中鄰項(xiàng)作差法（即根據(jù)相鄰兩項(xiàng)之差的符號(hào)判斷其單調(diào)性）結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求得的最小值，從而求出答案．

解：（1）∵每個(gè)服務(wù)區(qū)入口處設(shè)置宣傳標(biāo)語(yǔ)A的概率為，

∴每個(gè)服務(wù)區(qū)入口處設(shè)置宣傳標(biāo)語(yǔ)B的概率為，

∴X~B(2n，)，∴；

（2）長(zhǎng)途司機(jī)在走該高速全程中，隨機(jī)的選取3個(gè)服務(wù)區(qū)，共有種選取方法，

長(zhǎng)途司機(jī)在走該高速全程中，隨機(jī)的選取3個(gè)服務(wù)區(qū)，

記這3個(gè)服務(wù)區(qū)看到相同的宣傳標(biāo)語(yǔ)的事件數(shù)為M，

則其概率P＝，

設(shè)該高速公路全程2n個(gè)服務(wù)區(qū)中，入口處設(shè)置醒目的宣傳標(biāo)語(yǔ)A的有m(m，m≤2n)個(gè)，

①當(dāng)時(shí)，，

令，，

則當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)，時(shí)，，顯然，

∴，

∵，∴，

∴，

即，

當(dāng)，時(shí)，，

∵，時(shí)，，或，或，

∴同②，；

綜上，當(dāng)時(shí)，，，

即兩種宣傳標(biāo)語(yǔ)1：1設(shè)置時(shí)，符合題設(shè)的概率最小，其最小值為．