Question

如圖所示，F(xiàn)是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（4，2）為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，|PA|+|PF|的最小值為8．
（1）求拋物線方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)M，使過點(diǎn)M的動(dòng)直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，且以BC為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，求出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過P作PB⊥l于B，過A作AC⊥l于C，由拋物線定義知當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線取等號．由題意知|AC|=8，從而求得p值，最后寫出拋物線的方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y=kx+b，對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y=kx+b，再利用以BC為直徑的圓恰過坐標(biāo)
原點(diǎn)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過P作PB⊥l于B，過A作AC⊥l于C，
（1）由拋物線定義知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|（折線段大于垂線段），當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線取等號．由題意知|AC|=8，即4+

p

2

=8?p=8?拋物線的方程為：y²=16x
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y=kx+b，
顯然k≠0，b≠0，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由以BC為直徑的圓恰過坐標(biāo)
原點(diǎn)有

OB

•

OC

=0?x₁x₂+y₁y₂=0①
把y=kx+b代入y²=16x得k²x²+2（bk-8）x+b²=0
由韋達(dá)定理

x1+x2=- 2(bk-8) k2 x1x2= b2 k2

．②
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+bk（x₁+x₂）+b²．③
②代入③得y1y2=

16b

k

．④
②④代入①得

16b

k

+

b2

k2

=0?b=-16k?動(dòng)直線方程為y=kx-16k=k（x-16）必過定點(diǎn)（16，0）
當(dāng)k_BC不存在時(shí)，直線x=16交拋物線于B（16，-16），C（16，16），仍然有

OB

•

OC

=0，
綜上：存在點(diǎn)M（16，0）滿足條件．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．當(dāng)研究直線與圓錐曲線的關(guān)系的問題時(shí)，�？衫�用聯(lián)立方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理來解決．