Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：
已知直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2，

π

3

)，直線l經(jīng)過點(diǎn)P，傾斜角為α．
（1）寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)l與圓ρ=3相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P（2，

π

3

）的直角坐標(biāo)為P（1，

3

），由l的傾斜角為α，能求出l的參數(shù)方程．
（2）圓ρ=3的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=9，由A、B在直線l上，A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，將l的參數(shù)方程代入x²+y²=9，得t2+(2cosα+2

3

sinα)t-5=0，由此能求出|AB|的最小值．

解答：解：（1）點(diǎn)P（2，

π

3

）的直角坐標(biāo)為P（1，

3

），
由l的傾斜角為α，則l的參數(shù)方程為：

x=1+tcosα y= 3 +tsinα

，（t為參數(shù)）．
（2）圓ρ=3的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=9，
∵A、B在直線l上，A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
將l的參數(shù)方程代入x²+y²=9，
得（1+tcosα）²+（

3

+tsinα）²=9，
化簡，得t2+(2cosα+2

3

sinα)t-5=0，
t1+t2=-(2cosα+2

3

sinα)，
t₁•t₂=-5，
|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(2cosα+2 3 sinα)2-4×(-5)

=

24+sin2α+8 3 sinαcosα

=

28+4 3 sin2α-4cos2α

=

28+8sin(2α- π 6 )

，
當(dāng)sin（2α-

π

6

）=-1，即α=

5π

6

時(shí)，|AB|的最小值是2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用．