【題目】已知橢圓,傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點,且線段的中點為.過橢圓內一點的兩條直線分別與橢圓交于點,且滿足,其中為實數(shù).當直線平行于軸時,對應的.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當變化時,是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)將M和N點坐標代入橢圓方程,根據(jù)斜率公式求得kMN=1,求得a和b的關系,當直線AP平行于x軸時,設|AC|=2d,求得A點坐標,代入橢圓方程,即可求得a和b,求得橢圓方程;
(Ⅱ)設出A、B、C和D點坐標,由向量共線,=λ,=λ,及A和B在橢圓上,利用斜率公式,kAB=kCD,求得3(1+λ)kAB=﹣2(1+λ),即可求得kAB為定值.
(Ⅰ)設M(m1,n1)、N(m2,n2),則,
兩式相減,
故a2=3b2
當直線AP平行于x軸時,設|AC|=2d,
∵,,則,解得,
故點A(或C)的坐標為.
代入橢圓方程,得
a2=3,b2=1,
所以方程為.
(Ⅱ)設A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)
由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),
…①
同理可得…②
由①②得:…③
將點A、B的坐標代入橢圓方程得,
兩式相減得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
于是3(y1+y2)kAB=﹣(x1+x2)…④
同理可得:3(y3+y4)kCD=﹣(x3+x4),
于是3(y3+y4)kAB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴kAB=kCD)
所以3λ(y3+y4)kAB=﹣λ(x3+x4)…⑤
由④⑤兩式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]kAB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]
把③代入上式得3(1+λ)kAB=﹣2(1+λ),
解得:,
當λ變化時,kAB為定值,.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的焦距為,離心率為,橢圓的右頂點為.
(1)求該橢圓的方程;
(2)過點作直線交橢圓于兩個不同點,求證:直線的斜率之和為定值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù),其中為奇函數(shù),為偶函數(shù),若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】《九章算術》是我國古代一部重要的數(shù)學著作,書中有如下問題:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊.齊去長安三千里,良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里.良馬先至齊,復還迎駑馬,問幾何日相逢.”其大意為:“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去,已知長安和齊的距離是3000里,良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良馬到齊后,立刻返回去迎駑馬,多少天后兩馬相遇.”試確定離開長安后的第天,兩馬相逢.
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【題目】已知二次函數(shù)的兩個零點為,,且.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)若,且函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,試判斷點是否在直線上? 并說明理由.
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【題目】設關于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的實根分別為x1、x2和x3、x4 , 若x1<x3<x2<x4 , 則實數(shù)a的取值范圍為 .
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【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面AA1C1C是菱形,側面ABB1A1⊥側面AA1C1C,A1B=AB=AA1=2,△AA1C1的面積為 ,且∠AA1C1為銳角.
(I) 求證:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
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【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點Q為對角面A1BCD1內一動點,點M、N分別在直線AD和AC上自由滑動,直線DQ與MN所成角的最小值為θ,則下列結論中正確的是( 。
A. 若θ=15°,則點Q的軌跡為橢圓的一部分
B. 若θ=30°,則點Q的軌跡為橢圓的一部分
C. 若θ=45°,則點Q的軌跡為橢圓的一部分
D. 若θ=60°,則點Q的軌跡為橢圓的一部分
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