已知是方程的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：對于，若 。

解析：（Ⅰ）設

           

則

又

故在區(qū)間上是增函數(shù)。                                 .......5分

                            ......10分

 

（Ⅱ）證：    

....15分

，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，

           ......20分
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α，β是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數(shù)f(x)=
2x-k
x2+1
的定義域為[α，β]．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并證明．
（Ⅱ）記：g（k）=maxf（x）-minf（x），若對任意k∈R，恒有g(k)≤a•
1+k2
成立，
求實數(shù)a 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α，β是方程4x2-4tx-1=0（t∈R）的兩個不等實根，函數(shù)f(x)=
2x-t
x2+1
的定義域為[α，β]．
（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；
（Ⅱ）證明：對于ui∈(0，
π
2
)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，則
1
g(tanu1)
+
1
g(tanu2)
+
1
g(tanu3)
＜
3
4
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省高三第二次階段性考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(本題滿分14分) 已知是方程的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為．

⑴當時，求函數(shù)的值域；

⑵證明：函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)；

⑶在（1）的條件下，設函數(shù)，

若對任意的，總存在，使得成立，

求實數(shù)的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省學軍中學2010屆高三上學期第四次月考（理） 題型：解答題

 已知是方程的兩個不等實根，

函數(shù)的定義域為.

（1）當時，求函數(shù)的值域；

（2）證明：函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)；

（3）在（1）的條件下，設函數(shù)，  

若對任意的，總存在，使得成立，

求實數(shù)的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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