Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）
①求數(shù)列{a_n}的通項公式
②若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•（a_n+3）（λ為非零常數(shù)），問是否存在整數(shù)λ使得對任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①由已知，得a_n=S_n-1+3n-4（n≥2），利用a_n與s_n的關(guān)系，兩式相減，a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥2），初步判斷新數(shù)列{a_n+3}具有等比數(shù)列的性質(zhì)，再考慮n=1的情形．
②寫出數(shù)列{b_n}的通項，首先假設(shè)存在λ使得滿足題意，然后計算化簡b_n+1-b_n，再結(jié)合恒成立問題進行轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為：(-1)n-1•λ＜(

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2

)n-1對任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數(shù)討論即可獲得λ的范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）①
得a_n=S_n-1+3n-4（n≥2）②
①-②得a_n+1=2a_n+3（n≥2）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥2）
又由②得 a₂=S₁+6-4=a₁+2=1
∴a₂+3=4
∴a₂+3=2（a₁+3）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥1）
∴數(shù)列{a_n+3}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列
∴a_n+3=2×2^n-1=2ⁿ
∴數(shù)列{a_n}的 a_n=2ⁿ-3（n≥1）
（2）由（1）可得  b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ
b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹
要使b_n+1＞b_n恒成立，只需b_n+1-b_n=2•3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ＞0恒成立，
即λ•(-1)n-1＜(

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2

)n-1恒成立
當(dāng)n為奇數(shù)時，λ＜(

3

2

)n-1恒成立   而(

3

2

)n-1的最小值為1∴λ＜1（10分）
當(dāng)n為偶數(shù)時，λ＞-(

3

2

)n-1恒成立  而-(

3

2

)n-1最大值為-

3

2

∴λ＞-

3

2

（12分）
即λ的取值范圍是1＞λ＞-

3

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，且λ≠1
又λ為整數(shù)．
∴存在λ=-1或0，使得對任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n．

點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了等比數(shù)列的定義、a_n與s_n的關(guān)系、分類討論的知識以及恒成立問題的解答規(guī)律．同時務(wù)必注意化簡計算的準(zhǔn)確性．