Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，證明對(duì)于任意的，不等式．

 

Answer 1

【答案】

（I）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)函數(shù).

（II）見解析。

【解析】本試題主要是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 單調(diào)性和證明不等式的運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811254734946216/SYS201209081126156689706797_DA.files/image004.png">

要使在上為單調(diào)函數(shù)只須在上或恒成立，

轉(zhuǎn)化為恒成立思想求解。

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811254734946216/SYS201209081126156689706797_DA.files/image007.png">時(shí)，

設(shè)

，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判定結(jié)論。

（I）解：

要使在上為單調(diào)函數(shù)只須在上或恒成立，

若，則，在上有最大值 ∴只須則

若，則，在上，無最小值故滿足的b不存在.

由上得出當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)函數(shù).

（II）時(shí)，

設(shè)

當(dāng)時(shí)    ∴函數(shù)在上為減函數(shù)

    ∴當(dāng)時(shí)，，即

   ∴，∴

∴