Question

已知向量

m

=(

1

a

，

1

2a

)(a＞0)，將函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-a的圖象按向量

m

平移后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數(shù)g(x)在[

2

，2]上的最小值為h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圖象平移的知識，根據(jù)向量平移的公式建立平移之后的圖象上點的坐標與平移之前圖象上點的坐標之間的關系是解決本題的關鍵；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中得到的函數(shù)關系式，確定該函數(shù)是二次函數(shù)類型，根據(jù)對稱軸與函數(shù)定義區(qū)間的關系，結合分類討論思想求出函數(shù)的最小值的表達式是解決本題的關鍵．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點，它在函數(shù)y=g（x）圖象上的對應點P'（x'，y'），則由平移公式，得

x′=x+ 1 a y′=y- 1 2a

∴

x=x′- 1 a y=y′+ 1 2a

代入函數(shù)y=f(x)=

1

2

ax2-a中，
得y′+

1

2a

=

1

2

a(x′-

1

a

)2-a.
∴函數(shù)y=g（x）的表達式為g(x)=

1

2

a(x-

1

a

)2-a-

1

2a

.
（Ⅱ）函數(shù)g（x）的對稱軸為x=

1

a

＞0.
①當0＜

1

a

＜

2

即a＞

2

2

時，函數(shù)g（x）在[

2

，2]上為增函數(shù)，
∴h(a)=g(

2

)=-

2

；
②當

2

≤

1

a

≤2即

1

2

≤a≤

2

2

時，h(a)=g(

1

a

)=-a-

1

2a

.
∴h(a)=-a-

1

2a

=-(a+

1

2a

)≤-2

a• 1 2a

=-

2

當且僅當a=

2

2

時取等號；
③當

1

a

＞2即0＜a＜

1

2

時，函數(shù)g（x）在[

2

，2]上為減函數(shù)，
∴h(a)=g(2)=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

.
綜上可知，h(a)=

- 2 ，a＞ 2 2 -a- 1 2a 1 2 ≤a≤ 2 2 . a-2，0＜a＜ 1 2

∴當a=

2

2

時，函數(shù)h（a）的最大值為h(

2

2

)=-

2

.

點評：本題考查向量平移公式的運用，考查學生對函數(shù)圖象平移本質(zhì)的理解，考查學生的分類討論思想，二次函數(shù)最值問題的求解，考查學生最值問題的求法．