Question

已知點M（1，y）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，M點到拋物線C的焦點F的距離為2，直線l：y=-

1

2

x+b與拋物線交于A，B兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；
（Ⅲ）若直線l與y軸負半軸相交，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的準線為x=-

p

2

，由拋物線定義和已知條件可知|MF|=1-(-

p

2

)=1+

p

2

=2，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=- 1 2 x+b y2=4x

，消x并化簡整理得y²+8y-8b=0．依題意應(yīng)有△=64+32b＞0，解得b＞-2．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，設(shè)圓心Q（x₀，y₀），則應(yīng)有x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

=-4．因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y₀|=4，由此能夠推導出圓的方程．
（Ⅲ）因為直線l與y軸負半軸相交，所以b＜0，又l與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，直線l：y=-

1

2

x+b整理得x+2y-2b=0，點O到直線l的距離d=

|-2b|

5

=

-2b

5

，所以S△AOB=

1

2

|AB|d=-4b

2

2+b

=4

2

b3+2b2

．由此能夠求出AOB的面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的準線為x=-

p

2

，
由拋物線定義和已知條件可知|MF|=1-(-

p

2

)=1+

p

2

=2，
解得p=2，故所求拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=- 1 2 x+b y2=4x

，消x并化簡整理得y²+8y-8b=0．
依題意應(yīng)有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
設(shè)圓心Q（x₀，y₀），則應(yīng)有x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

=-4．
因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y₀|=4，
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+4)(y1-y2)2

=

5[(y1+y2)2-4y1y2]

=

5(64+32b)

．
所以|AB|=2r=

5(64+32b)

=8，
解得b=-

8

5

．
所以x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16=

48

5

，所以圓心為(

24

5

，-4)．
故所求圓的方程為(x-

24

5

)2+(y+4)2=16．
（Ⅲ）因為直線l與y軸負半軸相交，所以b＜0，
又l與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，
直線l：y=-

1

2

x+b整理得x+2y-2b=0，
點O到直線l的距離d=

|-2b|

5

=

-2b

5

，
所以S△AOB=

1

2

|AB|d=-4b

2

2+b

=4

2

b3+2b2

．
令g（b）=b³+2b²，-2＜b＜0，g′(b)=3b2+4b=3b(b+

4

3

)，

b	(-2，- 4 3 )	- 4 3	(- 4 3 ，0)
g'（b）	+	0	-
g（b）		極大

由上表可得g（b）最大值為g(-

4

3

)=

32

27

．
所以當b=-

4

3

時，△AOB的面積取得最大值

32 3

9

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意導數(shù)的合理運用．