已知正三棱錐S-ABC,一個正三棱柱的一個底面的三個頂點在棱錐的三條側(cè)棱上,另一底面在正三棱錐的底面上,若正三棱錐的高為15cm,底面邊長為12cm,內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120cm2,
(1)求正三棱柱的高;
(2)求棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比.
分析:(1) 設(shè)內(nèi)接正三棱柱的高為 x,底面的邊長為 a,由直角三角形相似及內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積,解方程求出正三棱柱的高.
(2) 利用兩個棱錐的側(cè)面積之比等于對應(yīng)的相似比的平方,相似比為
15 -x
15
,把x=10或x=5代入可求得棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比.
解答:解:(1)設(shè)內(nèi)接正三棱柱的高為 x,底面的邊長為 a,
由直角三角形相似得
15-x
15
=
2
3
×
3
2
a
2
3
×
3
2
×12
,
∴a=
60-4x
5
,內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為:120=3a•x=3
60-4x
5
 x,
x2-15x+50=0,∴x=10 或 x=5.
∴正三棱柱的高為10cm或5cm.
(2)兩個棱錐的側(cè)面積之比等于對應(yīng)的相似比的平方,相似比為
15 -x
15
,
當(dāng)x=10 時,相似比為
1
3
,故兩個棱錐的側(cè)面積之比等于
1
9
,
當(dāng)x=5時,相似比為
2
3
,故兩個棱錐的側(cè)面積之比等于
4
9
,
故棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比為:1:9或4:9.
點評:本題考查棱柱、棱錐的側(cè)面積的求法,面積比與相似比的關(guān)系.
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已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長相等,E,F(xiàn)分別為SC,AB的中點,則異面直線EF與SA所成角的大小是
π
4
π
4

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(2012•南充三模)已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長相等,E、F分別為側(cè)棱SC底邊AB的中點,則異面直線EF與SA所成角的大小是( 。

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已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長相等,E、F分別為側(cè)棱SC底邊AB的中點,則異面直線EF與SA所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.

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已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長相等,E、F分別為側(cè)棱SC底邊AB的中點,則異面直線EF與SA所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.

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