Question

已知過(guò)點(diǎn)P（-2，-2）作圓x²+y²+Dx-2y-5=0的兩切線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x-y=0對(duì)稱(chēng)，設(shè)切點(diǎn)分別有A、B，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)P（-2，-2）作圓x²+y²+Dx-2y-5=0的兩切線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x-y=0對(duì)稱(chēng)⇒圓的圓心在直線(xiàn)x-y=0上，或在過(guò)P（-2，-2）且與直線(xiàn)x-y=0垂直的直線(xiàn)上，分類(lèi)討論后解答即可．

解答：解：由題意可知，圓的圓心在直線(xiàn)x-y=0上，或在過(guò)P（-2，-2）且與直線(xiàn)x-y=0垂直的直線(xiàn)上，
圓的圓心坐標(biāo)為（-

D

2

，1），
（1）若圓心在直線(xiàn)x-y=0上，則-

D

2

-1=0，解得D=-2，
此時(shí)圓的方程為：x²+y²-2x-2y-5=0①；
又以（1，1），（-2，-2）為直徑的圓的方程為：（x-1）（x+2）+（y-1）（y+2）=0，即x²+y²+x+y-4=0②，
∴由①②可得故直線(xiàn)AB方程為：3x+3y+1=0；
（2）若圓心在過(guò)P（-2，-2）且與直線(xiàn)x-y=0垂直的直線(xiàn)上，則圓心所在的直線(xiàn)l′的方程為：y-（-2）=-[x-（-2）]，即x+y+4=0，
∵圓心坐標(biāo)（-

D

2

，1），故-

D

2

+1+4=0，解得D=10，故圓心坐標(biāo)為（-5，1），
∴圓的方程為：x²+y²+10x-2y-5=0，即（x+5）²+（y-1）²=21，而得點(diǎn)P（-2，-2）在圓內(nèi)，故無(wú)切線(xiàn)方程；
綜上所述，直線(xiàn)AB的方程為：3x+3y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，易錯(cuò)點(diǎn)在于①忽視圓心在直線(xiàn)x-y=0上，②當(dāng)圓心在x+y+4=0上時(shí)，點(diǎn)P（-2，-2）在圓內(nèi)，故無(wú)切線(xiàn)，著重考查分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．