【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).

時,求曲線在點,處的切線方程;

討論的單調(diào)性;

時,證明.

【答案】(1)(2)見解析(3)證明見解析

【解析】

1)當時,,利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程;

2)對函數(shù)進行求導得,對兩種情況進行分類討論,研究導數(shù)值的正負,從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3)證明不等式成立等價于證明成立,再構(gòu)造函數(shù)進行證明.

1)當時,.

所以,

所以,又.

所以曲線在點處的切線方程為,

.

2)易得.

①當時,,此時上單調(diào)遞增;

②當時,令,得.

則當時,,此時上單調(diào)遞增;

時,,此時上單調(diào)遞減.

綜上所述,當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

3)由(2)知,當時,處取得最大值,

,

等價于,即

.(※)

,則.不妨設(shè)),

所以.

從而,當時,;當時,,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減.

故當.

所以當時,總有.

即當時,不等式(※)總成立,

故當時,成立.

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