設(shè)a、b為常數(shù),M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,x∈R};F:把平面上任意一點(a,b)映射為函數(shù)acosx+bsinx.
(1)證明:對F不存在兩個不同點對應(yīng)于同一個函數(shù);
(2)證明:當(dāng)f(x)∈M時,f1(x)=f(x+t)∈M,這里t為常數(shù);
(3)對于屬于M的一個固定值f(x),得M1={f(x+t)|t∈R},若映射F的作用下點(m,n)的象屬于M1,問:由所有符合條件的點(m,n)構(gòu)成的圖形是什么?
【答案】分析:(1)假設(shè)有兩個不同的點(a,b),(c,d)對應(yīng)同一函數(shù),即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對一切實數(shù)x均成立.特別令x=0,得a=c;令x=,得b=d.這與(a,b),(c,d)是兩個不同點矛盾,故不存在兩個不同點對應(yīng)同函數(shù).
(2)當(dāng)f(x)∈M時,可得常數(shù)aa,b,使f(x)=acosx+bsinx,f1(x)=f(x+t)=acos(x+t)+bsin(x+t)=(acost+bsint)+(bcost-asint)sinx.由此能夠證明f1(x)=f(x+t)∈M.
(3)設(shè)f(x)∈M,由此得f(x+t)=mcosx+nsinx,在映射F下,f(x+t)的原象是(m,n),則M1的原象是{(m,n)|m=acost+bsint,n=bcost-asint,t∈R},消去t得m2+n2=a2+b2,由此能得到有符合條件的點(m,n)構(gòu)成的圖形是圓.
解答:解:(1)證明:假設(shè)有兩個不同的點(a,b),(c,d)對應(yīng)同一函數(shù),
即F(a,b)=acosx+bsinx與F(c,d)=ccosx+dsinx相同,
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對一切實數(shù)x均成立.
特別令x=0,得a=c;
令x=,得b=d.
這與(a,b),(c,d)是兩個不同點矛盾,
假設(shè)不成立.
故不存在兩個不同點對應(yīng)同函數(shù).
(2)當(dāng)f(x)∈M時,
可得常數(shù)aa,b,使f(x)=acosx+bsinx,
f1(x)=f(x+t)=acos(x+t)+bsin(x+t)
=(acost+bsint)+(bcost-asint)sinx.
由于a,b,t為常數(shù),
設(shè)acost+bsint=m,bcost-asint=n,
則m,n是常數(shù).
從而f1(x)=f(x+t)∈M.
(3)設(shè)f(x)∈M,
由此得f(x+t)=mcosx+nsinx,
(其中m=acost+bsint,n=bcost-asint)
在映射F下,f(x+t)的原象是(m,n),
則M1的原象是
{(m,n)|m=acost+bsint,n=bcost-asint,t∈R},
消去t得m2+n2=a2+b2,
即在映射F下,M1的原象{(m,n)|m2+n2=a2+b2}是以原點為圓心,為半徑的圓.
點評:本題考查映射的概念,難度較大.解題時要認真審題,仔細解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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(3)對于屬于M的一個固定值f0(x),得M1={f0(x+t)|t∈R},若映射F的作用下點(m,n)的象屬于M1,問:由所有符合條件的點(m,n)構(gòu)成的圖形是什么?

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