【題目】給定整數(shù),數(shù)列、、、每項均為整數(shù),在中去掉一項,并將剩下的數(shù)分成個數(shù)相同的兩組,其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.
(Ⅰ)已知數(shù)列、、、、,寫出、、的值及的特征值;
(Ⅱ)若,當,其中、且時,判斷與的大小關(guān)系,并說明理由;
(Ⅲ)已知數(shù)列的特征值為,求的最小值.
【答案】(Ⅰ);;.的特征值為;(Ⅱ),理由見解析;(Ⅲ)最小值為.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題中的定義可求出、、的值及的特征值;
(Ⅱ)分、和、兩種情況討論,結(jié)合題中定義可證明出;
(Ⅲ)設(shè),利用(Ⅱ)中的結(jié)論,結(jié)合數(shù)列的特征值為,可得出,并證明出,即可求出的最小值.
(Ⅰ)由題知:,,,
的特征值為;
(Ⅱ).
理由如下:由于,可分下列兩種情況討論:
當、時,
根據(jù)定義可知:,
同理可得:.
所以,所以.
當、時,同理可得:
,
所以,所以.
綜上有:;
(Ⅲ)不妨設(shè),
,
顯然,,
.
當且僅當時取等號;.
當且僅當時取等號;
由(Ⅱ)可知、的較小值為,
所以.
當且僅當時取等號,
此時數(shù)列為常數(shù)列,其特征值為,不符合題意,則必有
.
下證:若,,總有.
證明:
.
所以.
因此
.
當時,可取到最小值,符合題意.
所以的最小值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活,網(wǎng)購作為一種新的消費方式,因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù),得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次類推;y表示人數(shù)):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(萬人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并預測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人;
(2)該公司為了吸引網(wǎng)購者,特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲,送免費購物券”活動,網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”,則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元;若遙控車最終停在“失敗大本營”,則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格,網(wǎng)購者每拋擲一次骰子,遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù),遙控車向前移動一格(從到)若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格(從到),直到遙控車移到第19格勝利大本營)或第20格(失敗大本營)時,游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.
附:在線性回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), ().
(1)當時,若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線,求的值;
(2)當時,若對任意和任意,總存在不相等的正實數(shù),使得,求的最小值;
(3)當時,設(shè)函數(shù)與的圖象交于 兩點.求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列{an}(an∈Z)的前n項和為Sn,記S1,S2,…,Sn中奇數(shù)的個數(shù)為bn.
(1)若an=n,請寫出數(shù)列{bn}的前5項;
(2)求證:“a1為奇數(shù),ai(i=2,3,4,…)為偶數(shù)”是“數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件;
(3)若ai=bi,i=1,2,3,…,求數(shù)列{an}的通項公式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如果存在常數(shù)a,使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項,則a-x也是數(shù)列{an}中的一項,稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列{bn}的項數(shù)是n0(n0≥3),所有項之和是B,求證:數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對于一個不少于3項,且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論,并說明理由.
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