如圖,拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),且開口向右,點(diǎn)ABC在拋物線上,△ABC的重心F為拋物線的焦點(diǎn),直線AB的方程為
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M為某定點(diǎn),過點(diǎn)M的動直線l與拋物線相交于PQ兩點(diǎn),試推斷是否存在定點(diǎn)M,使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
(Ⅰ)y2=16x
(Ⅱ)
(Ⅰ)設(shè)拋物線方程為,
聯(lián)立消去x,得。                             (2分)
設(shè)點(diǎn),則
所以。                         (4分)
設(shè)點(diǎn),因?yàn)椤?i>ABC的重心為,則
,所以。                   (5分)
因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上,則,解得p=8,此時
故拋物線方程為y2=16x。                                                      (6分)
(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)M的動直線l的方程為,代入拋物線方程y2=16x,得
,所以。                                      (8分)
若以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則,即。
所以,即,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125030844250.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以。                                                (10分)
所以直線l的方程為,即,從而直線l必經(jīng)過定點(diǎn)。(11分)
若直線l的斜率不存在,因?yàn)橹本與拋物線的交點(diǎn)為,此時仍有。故存在定點(diǎn)滿足條件。                               (13分)
練習(xí)冊系列答案
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