Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，F(xiàn)為橢圓E：的右焦點，過F作兩條相互垂直的直線AB，CD，與橢圓E分別交于A，B和點C，D．

（1）當AB=時，求直線AB的方程；

（2）直線AB交直線x=3于點M，OM與CD交于P，CO與橢圓E交于Q，求證：OM∥DQ．

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）由題意可設直線AB方程y=k（x-2），則直線CD的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可得出|AB|,|CD|，根據(jù)AB=解得k，即可得直線AB方程.（2）將直線AB與直線x=3聯(lián)立，解得M，可得直線OM方程，將直線OM與直線CD聯(lián)立，解得P點坐標，將直線CD與橢圓聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得線段CD的中點坐標，得到與點P重合．又點O是CQ的中點，由三角形中位線即可證明結(jié)論．

(1)由題意可設直線的方程為：，，.則直線的方程為：.

聯(lián)立，化為：，

，，

則.

同理可得：.

，.

化為：，解得.

直線的方程為：.

(2)證明：設直線的方程為：，則直線的方程為：，，

聯(lián)立，解得.

可得直線的方程：，

聯(lián)立，解得.

聯(lián)立，化為：，

，可得線段的中點坐標，與點重合.

又點是的中點，，即.