【題目】如圖,兩條相交線段、的四個(gè)端點(diǎn)都在橢圓上,其中直線的方程為,直線的方程為.
(1)若,,求的值;
(2)探究:是否存在常數(shù),當(dāng)變化時(shí),恒有?
【答案】(1);(2)存在,見解析
【解析】
(1)當(dāng)時(shí),聯(lián)立方程組求得,根據(jù),利用,列出方程,即可求解;
(2)設(shè),由,得,利用韋達(dá)定理,結(jié)合橢圓的對(duì)稱性,分類討論,即可得到結(jié)論.
(1)由題意,當(dāng)時(shí),聯(lián)立方程組,解得,
因?yàn)?/span>,所以,
設(shè),則,化簡(jiǎn)得,
又由,聯(lián)立方程組,解得或.
因?yàn)?/span>平分,所以(不適合題意),所以.
(2)設(shè),
由,整理得,
其中,
若存在常數(shù),當(dāng)變化時(shí),恒有,
則由(1)可知只可能是,
①當(dāng)時(shí),取,等價(jià)于,
即,
即,
即,此式子恒成立,
所以存在常數(shù),當(dāng)變化時(shí),恒有;
②當(dāng)時(shí),取,由橢圓的對(duì)稱性,同理可知結(jié)論也成立,
綜上可得,存在常數(shù),當(dāng)變化時(shí),恒有;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電動(dòng)車售后服務(wù)調(diào)研小組從汽車市場(chǎng)上隨機(jī)抽取20輛純電動(dòng)汽車調(diào)查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于50公里和300公里之間,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成5組:,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求續(xù)駛里程在的車輛數(shù);
(2)求續(xù)駛里程的平均數(shù);
(3)若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機(jī)抽取2輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+16a)的定義域?yàn)?/span>R;命題q:不等式3x-9x<a對(duì)任意x∈R恒成立.
(1)如果p是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)如果命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別是,拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn),且滿足
(1)求橢圓的方程;
(2)與拋物線相切于第一象限的直線,與橢圓交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求直線斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若數(shù)列滿足(),且,求證:是等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,試探究當(dāng)正實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí),數(shù)列具有如下性質(zhì):對(duì)于任意的(),都存在,使得,寫出你的探究過程,并求出滿足條件的正實(shí)數(shù)的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在線段的兩端點(diǎn)各置一個(gè)光源,已知光源,的發(fā)光強(qiáng)度之比為,則線段上光照度最小的一點(diǎn)到,的距離之比為______(光學(xué)定律:點(diǎn)的光照度與到光源的距離的平方成反比,與光源的發(fā)光強(qiáng)度成正比)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:毫克),質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表,如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品質(zhì)量/毫克 | 頻數(shù) |
(Ⅰ)以樣本的頻率作為概率,試估計(jì)從甲流水線上任取件產(chǎn)品,求其中不合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
甲流水線 | 乙流水線 | 總計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計(jì) |
(Ⅱ)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)?
(Ⅲ)由乙流水線的頻率分布直方圖可以認(rèn)為乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布,求質(zhì)量落在上的概率.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
參考公式:
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐中:
(I)證明:平面 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上,滿足, ,點(diǎn)在棱上,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與y軸垂直.
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,成立,求a的取值范圍
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