Question

（2007•武漢模擬）（文）如果函數(shù)f（x）=x²-bx+2在閉區(qū)間[-1，2]上有反函數(shù)，那么實數(shù)b的取值范圍（　�。�

A．（-∞，2]

B．（-∞，-4]∪[2，+∞）

C．[-2，+∞）

D．（-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=x²-bx+2在閉區(qū)間[-1，2]上有反函數(shù)，只須函數(shù)f（x）=x²-bx+2在閉區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)?f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]恒成立，從而轉(zhuǎn)化求函數(shù)g（x）=2x，在[-1，2]上的最值問題解決即可．

解答：解：對函數(shù)求導可得，f′（x）=2x-b，
函數(shù)f（x）=x²-bx+2在閉區(qū)間[-1，2]上有反函數(shù)，只須函數(shù)f（x）=x²-bx+2在閉區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)
即f′（x）=2x-b≥0或f′（x）=2x-b≤0在[-1，2]恒成立
即b≤2x或b≥2x在[-1，2]上恒成立
令g（x）=2x，則g（x）在[-1，2]上的最小值為-2，最大值是g（2）=4
∴a≤-2或a≥4
故選D．

點評：本題主要考查了反函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導數(shù)的關系的應用，函數(shù)的恒成立問題的求解常會轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了構(gòu)造函數(shù)與轉(zhuǎn)化思想的應用．