Question

【題目】在四邊形中，，，，，，是上的點，，為的中點．將沿折起到的位置，使得.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出，，從而得出平面，由此能證明面面；

（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系能求出二面角的正弦值．

（Ⅰ）在四邊形中，，，，，，是上的點，，

，，，，

由余弦定理得，

，，，

，，，，

，平面，

平面，因此，平面平面；

（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，

，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，取，則，，可得.

同理可得平面的一個法向量為，

，

設(shè)二面角的大小為，則.

因此，二面角的正弦值為.