Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為且橢圓上存在一點(diǎn)，滿足.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的交點(diǎn)為，是否存在一條定直線，使點(diǎn)恒在直線上?

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)在定直線上

【解析】

（1）對(duì)三角形應(yīng)用余弦定理即可求得，結(jié)合橢圓定義求得，問題得解。

（2）設(shè)，，，利用及列方程，整理得：，由整理得：，從而表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理得：，代入上式得：，解得：，問題得解.

（1）設(shè)，則內(nèi)，

由余弦定理得，

化簡(jiǎn)得，解得，

故，

∴，得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）已知，，設(shè)，，，

由，①

，②

兩式相除得.

又，

故，

故，③

設(shè)的方程為，代入整理，

得，恒成立.

把代入③，

得，

得到，故點(diǎn)在定直線上.