Question

【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）求的值；

（2）若．

①求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

②求滿(mǎn)足的所有數(shù)對(duì)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①見(jiàn)解析；②（10，4）.

【解析】

(1)給中的n取值n=1,2,即得的值.(2) ①根據(jù)已知得到a2n=n+，所以數(shù)列{a2n}為等差數(shù)列，公差為1．②先求出，再代入得到（2m+p+9）（2m﹣p+3）=27，分析得到，從而得到滿(mǎn)足的所有數(shù)對(duì)．

（1）由，可得：，可得a1+a3=．

（2）①∵，∴a2n﹣a2n﹣1=，a2n+1+a2n=，可得a2n+1+a2n﹣1=．

∴1==（a1+a3）+（a3+a5）=4a3，解得a3=，∴a1=．

∴a2n﹣1﹣=﹣=……=（﹣1）n﹣1=0，解得a2n﹣1=，

可得a2n=n+．

∴數(shù)列{a2n}為等差數(shù)列，公差為1．

②由①可得：a2n+1=a1，

∴S2n=a1+a2+……+a2n

=（a2+a3）+（a4+a5）+……+（a2n+a2n+1）

=．

由滿(mǎn)足，可得：+3p=4，

化為：（2m+p+9）（2m﹣p+3）=27，

∵m，p∈N*，可得2m+p+9≥12，且2m+p+9，2m﹣p+3都為正整數(shù)，

∴，解得p=10，m=4．

故所求的數(shù)對(duì)為（10，4）．