【題目】如圖所示的幾何體ABCDE中,平面EAB,,,,M是EC的中點.
求異面直線DM與BE所成角的大;
求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】
由題意,先證明直線AE、AB、AD兩兩垂直,再以點A為原點,AE、AB、AD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
求出向量,然后求出異面直線DM與BE所成的角;
求出平面BDM和平面BDA的法向量,再求二面角的余弦值.
平面EAB,
平面平面EAB,
又,且平面平面,
平面ABCD,
直線AE、AB、AD兩兩垂直,
以點A為原點,AE、AB、AD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
設,
0,,4,,4,,0,,0,,
是EC的中點,
2,,
,,
,
異面直線DM與BE所成角的大小為;
設二面角的大小為,
,,,
設平面BDM的一個法向量,
則,且,
所以,且,
令,則,
平面BDM的一個法向量,平面BDA的一個法向量
,
由圖可知,為銳角,
二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)線段上是否存在點,使得直線平面?若存在,求的值:若不存在,請說明理由.
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【題目】某儀器經(jīng)過檢驗合格才能出廠,初檢合格率為:若初檢不合格,則需要進行調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后再次對其進行檢驗;若仍不合格,作為廢品處理,再檢合格率為.每臺儀器各項費用如表:
項目 | 生產(chǎn)成本 | 檢驗費/次 | 調(diào)試費 | 出廠價 |
金額(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每臺儀器能出廠的概率;
(Ⅱ)求生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率(注:利潤出廠價生產(chǎn)成本檢驗費調(diào)試費);
(Ⅲ)假設每臺儀器是否合格相互獨立,記為生產(chǎn)兩臺儀器所獲得的利潤,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
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【題目】給出三個命題:①直線上有兩點到平面的距離相等,則直線平行平面;②夾在兩平行平面間的異面直線段的中點的連線平行于這個平面;③過空間一點必有唯一的平面與兩異面直線平行.正確的是( )
A. ②③B. ①②C. ①②③D. ②
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【題目】如圖,已知橢圓的左、右焦點分別為、,點為橢圓上任意一點,關于原點的對稱點為,有,且的最大值.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若是關于軸的對稱點,設點,連接與橢圓相交于點,問直線與軸是否交于一定點.如果是,求出該定點坐標;如果不是,說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標縮短為原來的,得到曲線,在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程及直線的直角坐標方程;
(2)設點為曲線上的任意一點,求點到直線的距離的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x﹣a)2+4.
(1)若f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若x≥0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點,AB=BC.
求證:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
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