Question

（本小題滿分13分）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相交于坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程.

（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（－2，0）和線段AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx－y=0

∵該直線與圓 相切，

∴雙曲線C的兩條漸近線方程為  ……………………………………………2分

故設(shè)雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為

∴，∴雙曲線C的方程為  ……………………………4分

（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|QF₁|

若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁| 

根據(jù)雙曲線的定義|TF₂|=2，所以點(diǎn)T在以F₂為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是  ① ………………………………………6分

由于點(diǎn)N是線段F₁T的中點(diǎn)，設(shè)N（x，y），T（）

則 

代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為  …………………8分

（3）由 

令

直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程 上有兩個(gè)不等實(shí)根.

因此 

又AB中點(diǎn)為

∴直線L的方程為  ……………………………………10分

令x=0，得

∵  ∴ 

∴故b的取值范圍是   …………………………………………13分