Question

已知函數(shù).
（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，滿(mǎn)足恒成立的函數(shù)
有無(wú)窮多個(gè).

Answer 1

解：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823190600825592.gif" style="vertical-align:middle;" /> ，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為
，
所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 ，……2分
整理得，所以切線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn) ．   ………4分
(2) 令<0，對(duì)恒成立，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231906010441702.gif" style="vertical-align:middle;" /> （*）
………………………………………………………………6分
令，得極值點(diǎn)，，
①當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，在（，+∞）上有，
此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有∈，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，有，同理可知，在區(qū)間上，有∈，
也不合題意；          …………………………………………… 8分                              
③當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，
從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿(mǎn)足，
所以．    
綜上可知的范圍是．      ……………………………………………12分
(3)當(dāng)時(shí)，
記．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823190601870785.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以在上為增函數(shù)，
所以，        ………………………………14分
設(shè), 則,
所以在區(qū)間上，滿(mǎn)足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)．16分

略