Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為

3

2

，長軸端點與短軸端點間的距離為

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點E，F(xiàn)，O為坐標原點，若△OEF為直角三角形，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，a²+b²=5，由此能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）根據(jù)題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，聯(lián)立，

x2 4 +y2=1  y=kx+4

，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解．

解答：解：（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，a²+b²=5，
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）根據(jù)題意，過點D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，
聯(lián)立，

x2 4 +y2=1  y=kx+4

，消去y得（1+4k²）x²+32kx+60=0，
△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
令△＞0，解得k2＞

15

4

．
設(shè)E，F(xiàn)兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）當∠EOF為直角時，
則x1+x2=-

32k

1+4k2

 ， x1x2=

60

1+4k2

，
因為∠EOF為直角，所以

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=0，
所以

15×(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，解得k=±

19

．
（ⅱ）當∠OEF或∠OFE為直角時，不妨設(shè)∠OEF為直角，
此時，k_OE•k=-1，所以

y1

x1

•

y1-4

x1

=-1，即x₁²=4y₁-y₁²①，
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=1；②，
將①代入②，消去x₁得3y₁²+4y₁-4=0，
解得y1=

2

3

或y₁=-2（舍去），
將y1=

2

3

代入①，得x1=±

2

3

5

，
所以k=

y1-4

x1

=±

5

，
經(jīng)檢驗，所求k值均符合題意，綜上，k的值為±

19

和±

5

．

點評：本題是橢圓問題的綜合題，解題時要認真審題，仔細解答．