Question

【題目】已知函數(shù) （ ）
（1）若曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求 的值；
（2）若 在 內(nèi)存在極值，求 的取值范圍；
（3）當(dāng) 時(shí)， 恒成立，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： .

， .

因?yàn)? 在 處的切線(xiàn)過(guò) ，所以 .

（2）解： 在 內(nèi)有解且 在 內(nèi)有正有負(fù).

令 .

由 ，得 在 內(nèi)單調(diào)遞減，

所以 .

（3）解：因?yàn)? 時(shí) 恒成立，所以 .

令 ，則 .

令 ，由 ，得 在 內(nèi)單調(diào)遞減，又 ，

所以 時(shí) ，即 ， 單調(diào)遞增， 時(shí) ，

即 ， 單調(diào)遞減.所以 在 內(nèi)單調(diào)遞增，

在 內(nèi)單調(diào)遞減，所以 .所以 .

【解析】（1）考察了曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
（2）考察了極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理；f ( x ) 在 ( 1 ， 2 ) 內(nèi)存在極值，等價(jià)于 f ′ ( x ) = 0 在 ( 1 ， 2 ) 內(nèi)有解且f ′ ( x )在 ( 1 ， 2 ) 內(nèi)有正有負(fù)，及結(jié)合f ′ ( x )的導(dǎo)函數(shù)，判斷f ′ ( x )是單調(diào)減函數(shù)，因此運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，只要g(1)>0 ，g(2)<0即可；
（3）考察函數(shù)含參恒成立問(wèn)題的一般解法，分離參數(shù)法，進(jìn)而利用函數(shù)單調(diào)性求最值。
注意第三問(wèn)是證明恒成立問(wèn)題，首先分離參數(shù)，可得a > ，構(gòu)造函數(shù) h ( x ) = ，只要a大于h(x)得最大值，再利用導(dǎo)數(shù)確定h(x)的單調(diào)性，注意一次求導(dǎo)不可得，再求一次，即可確定h(x)得單調(diào)性，即可
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切．容易知道，割線(xiàn)的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)PT的斜率k，即，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．