Question

已知，，，設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求使取得最小值時(shí)向量的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C滿足（1）時(shí)，求cos∠ACB．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)C在直線OP上，∴可設(shè) =t=（2t，t）．
∵=（1，7），=（2t，t），=（5，1），
∴=-=（1-2t，7-t），=-=（5-2t，1-t）．
∴•=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1+t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8．
∴當(dāng)t=2時(shí)，•取得最小值-8，此時(shí)，=（4，2）．
（2）當(dāng)=（4，2）時(shí)，=（-3，5），=（1，-1），
∴cos∠ACB=．
分析：（1）設(shè) =t=（2t，t），求出 和 的坐標(biāo)，代入• 的式子進(jìn)行運(yùn)算，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出•的最小值．
（2）把和的坐標(biāo)代入兩個(gè)向量的夾角公式，求出cos∠ACB 的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用．