Question

若函數f（x）=sin²ax-

3

sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m相切，相鄰切點之間的距離為

π

2

．
（1）求m和a的值；
（2）若點A（x₀，y₀）是y=f（x）圖象的對稱中心，且x₀∈[0，

π

2

]，求點A的坐標．

Answer 1

分析：（1）先通過二倍角公式、兩角和與差的正弦公式將函數f（x）化簡為y=Asin（wx+φ）+b的形式，根據T=

π

2

=

2π

w

可求出a，函數f（x）的最大值等于m等于A+b可求m的值．
（2）若點A（x₀，y₀）是y=f（x）圖象的對稱中心，且x₀∈[0，

π

2

]，求出x=

kπ

4

-

π

24

 利用0≤

kπ

4

-

π

24

≤

π

2

，求出點A的坐標．

解答：解：（1）f(x)=sin2ax-

3

sinaxcosax=

1-cos2ax

2

-

3

2

sin2ax
=

1

2

-(

1

2

cos2ax+

3

2

sin2ax)=

1

2

-sin(2ax+

π

6

)
∵T=

π

2

，f(x)最大值=m，m=-

1

2

，或m=

3

2

 
T=

π

2

，所以a=2；m=-

1

2

，或m=

3

2

（2）∵f（x）=-sin（4x+

π

6

）+

1

2

，∴sin（4x+

π

6

）=0，得4x+

π

6

=kπ   k∈Z
∴x=

kπ

4

-

π

24

  k∈Z，由0≤

kπ

4

-

π

24

≤

π

2

   k∈Z，得k=1或k=2
因此點A的坐標為(

5π

24

，

1

2

)或(

11π

24

，

1

2

)．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，二倍角公式的應用，兩角和的正弦函數的應用，函數的對稱性，考查計算能力．