已知函數(shù)f(x)=log2
a•2x+22x+b
（a，b∈R）的圖象過點（1，2），它的反函數(shù)的圖象也過點（1，2）．
（1）求實數(shù)a，b的值，并求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在其定義域上的單調性（不必證明），并解不等式f（2x-1）＞1．
分析：（1）直接根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)之間的關系得到函數(shù)f（x）過點（1，2）和（2，1），得到關于a，b的兩個等式，解方程即可求出a，b的值；再結合真數(shù)大于0求出其定義域，利用分離常數(shù)法求出真數(shù)的范圍即可求出其值域．
（2）直接根據(jù)函數(shù)f（x）過點（1，2）和（2，1），得到其在（0，+∞）上為減函數(shù)；再結合f（2）=1把不等式轉化為f（2x-1）＞f（2）即可求出不等式的解集．
解答：解：（1）依題意，函數(shù)f（x）過點（1，2）和（2，1），
則
log2
2a+2
2+b
=2
log2
4a+2
4+b
=1
⇒
2a-4b=6
4a-2b=6
⇒
a=1
b=-1
…（3分）
所以f(x)=log2
2x+2
2x-1
…（4分）
由
2x+2
2x-1
＞0⇒2x-1＞0⇒2x＞1⇒x＞0，
∴f（x）的定義域為：（0，+∞）．…（6分）
令t=
2x+2
2x-1
=1+
3
2x-1
，
∵x＞0
∴t＞1，f（x）=log2t＞0
∴f（x）的值域為：（0，+∞）…（8分）
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．…（9分）
∵函數(shù)f（x）過點（2，1），
∴f（2）=1，
則f（2x-1）＞1=f（2）
∴
2x-1＞0
2x-1＜2
⇒
1
2
＜x＜
3
2

即不等式f（2x-1）＞1的解集為(
1
2
，
3
2
)．…（14分）
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質以及原函數(shù)與反函數(shù)之間的關系．對數(shù)函數(shù)是許多知識的交匯點，是歷年高考的必考內容，在高考中主要考查：定義域、值域、圖象、對數(shù)方程、對數(shù)不等式、對數(shù)函數(shù)的主要性質（單調性等）及這些知識的綜合運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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