【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin2A+sin2B+sin2C=sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A.
(1)證明:△ABC是正三角形;
(2)如圖,點D在邊BC的延長線上,且BC=2CD,AD,求sin∠BAD的值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)由已知利用正弦定理可得,再配方得,則,因此是正三角形;
(2)由已知條件可得,,再由余弦定理可得,又,利用正弦定理即可得到結(jié)論.
(1)證明:∵sin2A+sin2B+sin2C=sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A
∴a2+b2+c2=ab+ac+bc,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=0,∴a=b=c,
∴△ABC為等邊三角形;
(2)∵△ABC是等邊三角形,BC=2CD,
∴AC=2CD,∠ACD=120°,
∴在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2﹣2ACCDcos∠ACD,
∴7=4CD2+CD2﹣4CDCDcos120°,∴CD=1,
在△ABC中,BD=3CD=3,
由正弦定理,得sin∠BAD.
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【題目】已知數(shù)列中,函數(shù).
(1)若正項數(shù)列滿足,試求出, , ,由此歸納出通項,并加以證明;
(2)若正項數(shù)列滿足(n∈N*),數(shù)列的前項和為Tn,且,求證: .
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【題目】已知數(shù)列的首項為1,各項均為正數(shù),其前項和為,,.
(1)求,的值;
(2)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列滿足,,求證:.
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【題目】已知雙曲線(,)的一條漸近線方程為,點在雙曲線上;拋物線()的焦點F與雙曲線的右焦點重合.
(1)求雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過焦點F作一條直線l交拋物線于A,B兩點,當(dāng)直線l的斜率為時,求線段的長度.
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【題目】受電視機在保修期內(nèi)維修費等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每臺電視機的利潤與該電視機首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān).某電視機制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號電視機,保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種型號電視機中各隨機抽取50臺,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出現(xiàn)故障時間x(年) | |||||
電視機數(shù)量(臺) | 3 | 5 | 42 | 8 | 42 |
每臺利潤(千元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.8 |
將頻率視為概率,解答下列問題:
(1)從該廠生產(chǎn)的甲種型號電視機中隨機抽取一臺,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;
(2)該廠預(yù)計今后這兩種型號電視機銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種型號電視機,若從經(jīng)濟效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種型號電視機?說明理由.
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【題目】已知點Pn(an,bn)滿足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*),且點P1的坐標(biāo)為(1,-1).
(1)求過點P1,P2的直線l的方程;
(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于n∈N*,點Pn都在(1)中的直線l上
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【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表:
溫度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產(chǎn)卵數(shù)y/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經(jīng)計算得:
,,線性回歸模型的殘差平方和,,
其中分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù),
(1)若用線性回歸模型,求y關(guān)于x的回歸方程(精確到0.1);
(2)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為,且相關(guān)指數(shù).
①試與1中的回歸模型相比,用說明哪種模型的擬合效果更好.
②用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35℃時該用哪種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù))
附:一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為,;相關(guān)指數(shù).
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【題目】一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體,若將這些小正方體均勻地攪混在一起,從中任意取出一個,則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是( )
A.B.C.D.
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