【題目】已知正項數(shù)列的前項和為,且.數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)求數(shù)列的前項和;

3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)利用的關(guān)系作差可知數(shù)列為等差數(shù)列與公差,即可求得通項公式;

2)由(1)表示數(shù)列的通項公式,由裂項相消法求和即可;

3)分類討論為偶數(shù)與奇數(shù)時轉(zhuǎn)化不等式,再由基本不等式與函數(shù)的單調(diào)性求最值,最后由不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化求參數(shù)取值范圍即可.

解:(1)當時,;

時,因為,,所以,

兩式相減得,

所以,所以數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,

所以

2)由題意和(1)得:,

所以數(shù)列項和

3)①當為偶數(shù)時,要使不等式恒成立,即不等式恒成立,即需不等式恒成立.

,等號在時取得.

此時需滿足

②當為奇數(shù)時,要使不等式恒成立,即不等式恒成立,即需不等式恒成立.

是隨的增大而增大,

時,取得最小值

此時需滿足

綜合①、②可得的取值范圍是

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