【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意都有;

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1見(jiàn)解析2

【解析】試題分析:(1,求導(dǎo)得單調(diào)遞減, 單調(diào)遞增 ,;(2)令,有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),且,通過(guò)分類討論得, .

試題解析:

1當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 顯然成立;

當(dāng)時(shí) ;

, ,

可得, ; , ;

時(shí),

綜上,任意都有得證.

2函數(shù)定義域?yàn)?/span>,,有兩個(gè)極值點(diǎn),則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),且,

當(dāng)時(shí), 上恒成立,函數(shù)上單增, 至多有一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)

當(dāng)時(shí),令,可得,

,即函數(shù)單減,單增,

若條件成立,則必有 ,此時(shí),

下證: 時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

由于,有唯一零點(diǎn),記為

易得時(shí), ,

,,由(1可得大于0恒成立,從而,

,有唯一零點(diǎn),記為,

從而, , , ;

綜上,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí), .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下圖為某校數(shù)學(xué)專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測(cè)評(píng)成績(jī)(百分制)頻率分布直方圖,已知80-90分?jǐn)?shù)段的學(xué)員數(shù)為21人。

(1)求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù);

(2)現(xiàn)欲將90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的n名人分配到幾所學(xué)校,從中安排2人到甲學(xué)校去,若n人中僅有兩名男生,求安排結(jié)果至少有一名男生的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】北京時(shí)間3月15日下午,谷歌圍棋人工智能與韓國(guó)棋手李世石進(jìn)行最后一輪較量, 獲得本場(chǎng)比賽勝利,最終人機(jī)大戰(zhàn)總比分定格.人機(jī)大戰(zhàn)也引發(fā)全民對(duì)圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.

(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)?

非圍棋迷

圍棋迷

合計(jì)

10

55

合計(jì)

(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,抽取3次,記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的平均值和方差.

附: ,其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取記錄如下:

甲: , , , , ,

乙: , , , , ,

用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù).

)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由

)若將頻率視為概率,對(duì)甲同學(xué)在今后的三次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè),記這次成績(jī)中高于分的次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn)在線段上, , ,沿直線翻折成,使點(diǎn)在平面上的射影落在直線上.

)求證:直線平面;

)求二面角的平面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某市甲水廠每天生產(chǎn)萬(wàn)噸的生活用水,其每天固定生產(chǎn)成本為萬(wàn)元,居民用水的稅費(fèi)價(jià)格為每噸元,該市居民每天用水需求量是在(單位:萬(wàn)噸)內(nèi)的隨機(jī)數(shù),經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,該市每天用水需求量的頻率分布直方圖如圖所示,設(shè)(單位:萬(wàn)噸, )表示該市一天用水需求量(單位:萬(wàn)元)表示甲水廠一天銷售生活用水的利潤(rùn)(利潤(rùn)=稅費(fèi)收入-固定生產(chǎn)成本),注:當(dāng)該市用水需求量超過(guò)萬(wàn)噸時(shí),超過(guò)的部分居民可以用其他水廠生產(chǎn)的水,甲水廠只收成本廠供應(yīng)的稅費(fèi),該市每天用水需求量的概率用頻率估計(jì).

(1)求的值,并直接寫出表達(dá)式;

(2)求甲水廠每天的利潤(rùn)不少于萬(wàn)元的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓恰好過(guò)原點(diǎn).點(diǎn)軸的交點(diǎn), 兩點(diǎn)在拋物線上且直線過(guò)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)及的直線交拋物線于點(diǎn).

1)求拋物線的方程;

2)求證:直線過(guò)一定點(diǎn),并求出該點(diǎn)坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為?若存在,取實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

(1)求橢圓方程;

(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),求線段的垂直平分線在軸截距的范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案