Question

設(shè)x、y是正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則

x2

x+1

+

y2

y+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由基本不等式可得0＜xy≤

1

4

，令t=xy，則0＜t≤

1

4

，則Z=

x2

x+1

+

y2

y+1

=

1-t

t+2

，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性可得答案．

解答： 解：∵x+y=1，
∴

x2

x+1

+

y2

y+1

=

x2(y+1)+y2(x+)

(x+1)(y+1)

=

xy(x+y)+x2+y2

xy+x+y+1

=

xy+(x+y)2-2xy

xy+2

=

1-xy

xy+2

，
又∵x、y是正實(shí)數(shù)，
∴x+y=1≥2

xy

，即0＜xy≤

1

4

，
令t=xy，則0＜t≤

1

4

，Z=

x2

x+1

+

y2

y+1

=

1-t

t+2

，
∵Z′=

-3

(t+2)2

＜0在0＜t≤

1

4

時(shí)恒成立，
故Z=

1-t

t+2

在0＜t≤

1

4

時(shí)為減函數(shù)，
故當(dāng)t=

1

4

時(shí)，函數(shù)有最小值

1

3

，
即

x2

x+1

+

y2

y+1

的最小值是

1

3

，
故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)最值的應(yīng)用，其中將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，是解答的關(guān)鍵．