精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，直線l為左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長(zhǎng)軸，已知
PM
=2
MF
，且|
MN
|=8．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最大值．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的長(zhǎng)軸求得橢圓方程中的a，利用橢圓的定義和
PM
=2
MF
求得離心率，進(jìn)而求得c，則b的值可得，最后求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程整理后利用韋達(dá)定理表示出yA+yB和yAyB，進(jìn)而根據(jù)S△ABF=S△PBF-S△PAF|表示出△ABF面積利用基本不等式求得面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意
|MN|
=8，得2a=8，∴a=4．
又
PM
=2
MF
，∴e=
1
2

∴c=2，b2=a2-c2=12．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0，yA+yB=
48m
3m2+4
，yAyB=
144
3m2+4
．
而S△ABF=S△PBF-S△PAF=
1
2
|PF|•|yB-yA|=
72
m2-4
3m2+4
．
即S△ABF=
72
m2-4
3(m2-4)+16
=
72
3
m2-4
+
16
m2-4
≤
72
2
3×16
=3
3
．
當(dāng)且僅當(dāng)3
m2-4
=
16
m2-4
，即m=±
2
21
3
時(shí)等號(hào)成立，且滿足△＞0．
∴△ABF面積的最大值是3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系．解題最后注意對(duì)所求的m的值代入判別式進(jìn)行驗(yàn)證．保證答題的嚴(yán)密性．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)是F拋物線C 1：x2=4y與橢圓C 2：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的公共焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為
1
2

（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)拋物線上一點(diǎn)P，作拋物線的切線l，切點(diǎn)P在第一象限，如圖，設(shè)切線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，記直線OP，F(xiàn)A，F(xiàn)B的斜率分別為k，k1，k2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若k 1+k2=
20
3
k，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-
3
，0)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）點(diǎn)N是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C1上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，連接
NP并延長(zhǎng)交橢圓右準(zhǔn)線與點(diǎn)T，求
TP
NP
的取值范圍；
（3）設(shè)曲線C2：y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)M作兩條互相垂直的直線與曲線C2、橢圓C1相交于點(diǎn)A、D和B、E，（如圖），記△MAB、
△MDE的面積分別是S1，S2，當(dāng)
S1
S2
=
27
64
時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且
|CD|
|ST|
=2
6
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求
PE
•
PF
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓E：數(shù)學(xué)公式的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且數(shù)學(xué)公式．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求數(shù)學(xué)公式的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)寧市育才中學(xué)高三（下）3月段考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓E：的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

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