【題目】如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．

（Ⅰ）證明：面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取中點，連結(jié)、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．

（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（Ⅰ ）取中點，連結(jié)、，

∵ ，，

∴ 四邊形是平行四邊形，

∵ ，，，

∴ ，

∴ ，∴，

在中，，

又∵ 為的中點，∴，

又∵ ，∴．

解：（Ⅱ）∵，，，

∴ ，

以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，

∴ ，，，

設(shè)面的法向量，

則，取，得，

同理，得平面的法向量，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

∴ 二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】莆田市是福建省“歷史文化名城”之一，也是旅游資源豐富的城市.“九頭十八巷”、“二十四景”美如畫.某文化傳媒公司為了解莆田民眾對當(dāng)?shù)仫L(fēng)景民俗知識的了解情況，在全市進行網(wǎng)上問卷（滿分100分）調(diào)查，民眾參與度極高.該公司對得分?jǐn)?shù)據(jù)進行統(tǒng)計擬合，認為服從正態(tài)分布.

（1）從參與調(diào)查的民眾中隨機抽取200名作為幸運者，試估算其中得分在75分以上（含75分）的人數(shù)（四舍五入精確到1人）；

（2）在（1）的條件下，為感謝參與民眾，該公司組織兩種活動，得分在75分以上（含75分）的幸運者選擇其中一種活動參與.活動如下：

活動一 參與一次抽獎.已知抽中價值200元的禮品的概率為，抽中價值420元的禮品的概率為；

活動二 挑戰(zhàn)一次闖關(guān)游戲.規(guī)則如下：游戲共有三關(guān)，闖關(guān)成功與否相互獨立，挑戰(zhàn)者依次闖關(guān)，第一關(guān)闖關(guān)失敗者沒有獲得禮品，第二關(guān)起闖關(guān)失敗者只能獲得上一關(guān)的禮品，獲得的禮品不累計，闖關(guān)結(jié)束.已知第一關(guān)通過的概率為，可獲得價值300元的禮品；第二關(guān)通過的概率為，可獲得價值800元的禮品；第三關(guān)通過的概率為，可獲得價值1800元的禮品.

若參與活動的幸運者均選擇禮品價值期望值較高的活動，該公司以該期望值為依據(jù)，需準(zhǔn)備多少元的禮品？

附：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知邊長為2的正三角形ABE所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且，點F是BC上一點，且．

（1）當(dāng)時，證明：；

（2）是否存在一個常數(shù)k，使得三棱錐的體積等于四棱錐的體積的，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“微信運動”已成為當(dāng)下熱門的健身方式，小明的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：

0～2000

2001～5000

5001～8000

8001～10000

男

1

2

3

6

8

女

0

2

10

6

2

（1）若采用樣本估計總體的方式，試估計小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率；

（2）已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步時被系統(tǒng)評定為“積極型”，否則為“懈怠型”.根據(jù)小明的統(tǒng)計完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)？

積極型

懈怠型

總計

男

女

總計

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，又在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）已知點在曲線上，點Q在曲線上，若的最小值為，求此時點的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)\.

（1）若且在處的切線垂直于y軸，求a的值；

（2）若對于任意，都有恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且，．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個，求正實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了如圖的散點圖．

溫度/℃

20

22

24

26

28

30

32

產(chǎn)卵數(shù)/個

6

10

22

26

64

118

310

26

79．4

3．58

112

11．6

2340

35．72

其中．

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作為該昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（3）根據(jù)關(guān)于的回歸方程，估計溫度為33℃時的產(chǎn)卵數(shù)．

（參考數(shù)據(jù)：）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）試問線段上是否存在點，使與面所成角的正弦值為？若存在，求出此時的長，若不存在，請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案