Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB= 60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=" CD=" CF．
（1）求證：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F—BD—C的正切值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）2.

試題分析：（1）要證明直線和平面垂直，只需證明直線和平面內的兩條相交直線垂直．由已知得，故只需證明，在中，由余弦定理得的關系，即的關系確定，在中，結合已知條件可判定是直角三角形，且，從而可證明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，過作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故為二面角F—BD—C的平面角，在中計算．
（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，，由余弦定理可知，
，即，在中，，，則是直角三角形，且，又，且，故BD⊥平面AED．
（2）過作，交于點，因為FC⊥平面ABCD，面，所以，所以
面，因此，，故為二面角F—BD—C的平面角.                  
在中，，可得
因此. 即二面角F—BD—C的正切值為2.