Question

【題目】以直角坐標系原點O為極點，x軸正方向為極軸，已知曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），C2的極坐標方程為ρ2（1+sin2θ）=8，C3的極坐標方程為θ=α，α∈[0，π），ρ∈R，
（1）若C1與C3的一個公共點為A（異于O點），且|OA|= ，求α；
（2）若C1與C3的一個公共點為A（異于O點），C2與C3的一個公共點為B，求|OA||OB|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），則直角方程為（x﹣1）2+y2=1，

極坐標方程為ρ=2cosθ，聯(lián)立極坐標方程 ，得 ，

由|OA|= =丨ρ1﹣ρ2丨=丨2cosα丨，

解得cosα=± ，則α= 或α= ．

（2）解：聯(lián)立C1與C3的極坐標方程為 ，丨OB丨=丨ρ丨= ，

當α= 時，O與A重合，所以α≠ ，則

|OA||OB|=丨2cosα丨 =4 =4 =4 ，

∴|OA||OB|∈（0，4 ]，

|OA||OB|的取值范圍∈（0，4 ]．

【解析】（1）由曲線C1的參數(shù)方程求得直角坐標方程，即可求得極坐標方程，與曲線C3聯(lián)立，即可求得ρ1，ρ2，由|OA|=丨ρ1﹣ρ2丨，即可求得α；（2）聯(lián)立C1與C3的極坐標方程．即可求得丨OB丨，則|OA||OB|=丨2cosα丨 ，化簡即可求得|OA||OB|的取值范圍．