【題目】已知橢圓: ()的兩個(gè)焦點(diǎn)為, ,離心率為,點(diǎn), 在橢圓上, 在線段上,且的周長(zhǎng)等于.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)圓: 上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和與圓交于點(diǎn), ,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)取最大值.
【解析】試題分析:(1)由的周長(zhǎng)為可得,由離心率得,進(jìn)而的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)先根據(jù)韋達(dá)定理證明兩切斜線斜率積為,進(jìn)而得兩切線垂直,得線段為圓的直徑, ,然后根據(jù)不等式及圓的幾何意義求的最大值.
試題解析:(1)由的周長(zhǎng)為,得, ,由離心率,得, .所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: .
(2)設(shè),則.
(ⅰ)若兩切線中有一條切線的斜率不存在,則, ,另一切線的斜率為0,從而.此時(shí), .
(ⅱ)若切線的斜率均存在,則,設(shè)過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為,
代入橢圓方程,消并整理得: .
依題意, .
設(shè)切線, 的斜率分別為, ,從而,即.
線段為圓的直徑, .
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取最大值4.由(ⅰ)(ⅱ)可得: 最大值是4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)從高三男生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,將他們的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,得到下側(cè)的頻率分布表
(Ⅰ)求出頻率分布表中①和②位置上相應(yīng)的數(shù)據(jù);
(Ⅱ)為了能對(duì)學(xué)生的體能做進(jìn)一步了解,該校決定在第3,4,5 組中用分層抽樣的方法抽取6 名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試,求第3,4,5 組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,學(xué)校決定在6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取2 名學(xué)生進(jìn)行引體向上測(cè)試,求第4 組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】7人站成一排.(寫(xiě)出必要的過(guò)程,結(jié)果用數(shù)字作答)
(1)甲、乙兩人相鄰的排法有多少種?
(2)甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種?
(3)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種?
(4)甲、乙、丙三人至多兩人不相鄰的排法有多少種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:,,…,,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);
(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等,試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康,某校為了解兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng),分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本,繪制成莖葉圖如圖所示(圖中莖葉表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字).
(1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值,并據(jù)此估計(jì),哪個(gè)班的學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng);
(2)從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)19的數(shù)據(jù)記為,從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)21的數(shù)據(jù)記為,求的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線
(1)若,過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn),且,求直線的方程;
(2)若曲線表示圓時(shí),已知圓與圓交于兩點(diǎn),若弦所在的直線方程為, 為圓的直徑,且圓過(guò)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)對(duì)于函數(shù),,,若對(duì)于區(qū)間上的任意一個(gè),都有,則稱函數(shù)是函數(shù),在區(qū)間上的一個(gè)“分界函數(shù)”.已知,,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)是函數(shù),在區(qū)間上的一個(gè)“分界函數(shù)”?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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