已知常數(shù)m>0,向量
a
=(0,1),向量
b
=(m,0),經(jīng)過點A(m,0),以λ
a
+
b
為方向向量的直線與經(jīng)過點B(-m,0),以λ
b
-4
a
為方向向量的直線交于點P,其中λ∈R.
(1)求點P的軌跡E;
(2)若m=2
5
,F(xiàn)(4,0),問是否存在實數(shù)k使得以Q(k,0)為圓心,|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點,并且|MF|+|NF|=3
5
.若存在求出k的值;若不存在,試說明理由.
分析:(1)由λ
a
+
b
=(m,λ),知直線AP方程為y=
λ
m
(x-m)
.由λ
b
-4
a
=(λm,-4),知直線NP方程為y=-
4
λm
(x+m)
;所以
x2
m2
+
y2
4
=1
,由此結(jié)合m的取值情況能夠求出點P的軌跡E.
(2)假設(shè)存在實數(shù)k滿足要求,此時有圓Q:(x-k)2+y2=(4-k)2;橢圓E:
x2
20
+
y2
4
=1
;其右焦點為F(4,0 ),且e=
2
5
5
.由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得2y2-5kx+20k-30=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
5
2
k
.△=25k2-4×2(20k-30),由此能求出存在實數(shù)k=1滿足要求.
解答:解:(1)∵λ
a
+
b
=( m,λ),
∴直線AP方程為y=
λ
m
(x-m)
  ①
又λ
b
-4
a
=(λm,-4),∴直線NP方程為y=-
4
λm
(x+m)
 ②
由①、②消去λ得 y2=-
4
m2
(x2m2 )
,即 
x2
m2
+
y2
4
=1

故當(dāng)m=2時,軌跡E是以(0,0)為圓心,以2為半徑的圓:x2+y2=4;
當(dāng)m>2時,軌跡E是以原點為中心,以
m2-4
,0)
為焦點的橢圓:
當(dāng)0<m<2時,軌跡E是以中心為原點,焦點為(0,±
4-m2
)
的橢圓.
(2)假設(shè)存在實數(shù)k滿足要求,此時有圓Q:(x-k)2+y2=(4-k)2
橢圓E:
x2
20
+
y2
4
=1
;其右焦點為F(4,0 ),且e=
2
5
5

由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得2y2-5kx+20k-30=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
5
2
k
  ③
△=25k2-4×2(20k-30),
又|MF|=2
5
-
2
5
5
x1
,|NF|=2
5
-
2
5
5
x2
,而|MF|+|NF|=3
5

2
5
-
2
5
5
x1+2
5
-
2
5
5
x2=3
5
,
由此可得x1+x2=
5
2
  ④
由③、④得k=1,且此時△>0.故存在實數(shù)k=1滿足要求.
點評:本題考查軌跡方程的求法和判斷k是否存在.解題時要注意分類討論思想和圓錐曲線性質(zhì)的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
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已知常數(shù)a>0,向量
m
=(0,a),
n
=(1,0)經(jīng)過定點A(0,-a)以
m
+λ
n
為方向向量的直線與經(jīng)過定點B(0,a)以
n
+2λ
m
為方向向量的直線相交于點P,其中λ∈R.
(I)求點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若a=
2
2
,過E(0,1)的直線l交曲線C于M、N兩點,求
EM
EN
的取值范圍.

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已知常數(shù)a>0,向量
m
=(0,a),
n
=(1,0),經(jīng)過定點A(0,-a)以
m
n
為方向向量的直線與經(jīng)過定點B(0,a)以
n
+2λ
m
為方向向量的直線相交于點P,其中λ∈R.求動點P所形成的曲線C的方程.

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(1)求點P的軌跡E;
(2)若m=2數(shù)學(xué)公式,F(xiàn)(4,0),問是否存在實數(shù)k使得以Q(k,0)為圓心,|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點,并且|MF|+|NF|=3數(shù)學(xué)公式.若存在求出k的值;若不存在,試說明理由.

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(1)求點P的軌跡E;
(2)若m=2,F(xiàn)(4,0),問是否存在實數(shù)k使得以Q(k,0)為圓心,|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點,并且|MF|+|NF|=3.若存在求出k的值;若不存在,試說明理由.

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