Question

若數(shù)列{b_n}：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準等差數(shù)列．如：若c_n=是公差為8的準等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準等差數(shù)列，并求其通項公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試研究：是否存在實數(shù)a，使得數(shù)列S_n有連續(xù)的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）：由已知a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），a_n+1+a_n+2=2（n+1），即可得出a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．即可證明{a_n}為準等差數(shù)列．分n為奇偶數(shù)即可得出其通項公式．                   
（Ⅱ）分當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，求出S_n．                              
當(dāng)k為偶數(shù)時，令S_k=50，得k=10．再分別令S₉=50，S₁₁=50得出a即可．
解答：解：（Ⅰ）∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①
a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
所以，{a_n}為公差為2的準等差數(shù)列．                       
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
當(dāng)n為奇數(shù)時，；
∴．
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時，；
當(dāng)n為奇數(shù)時，
=．                              
當(dāng)k為偶數(shù)時，，得k=10．
由題意，有；
或．
當(dāng)a=10時，S₉，S₁₀兩項等于50；當(dāng)a=-10時，S₁₀，S₁₁兩項等于50；
所以，a=±10．
點評：正確理解新定義和分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．