【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]設(shè)在平面上取定一個(gè)極坐標(biāo)系，以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸，以θ= 的射線作為y軸的正半軸，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)度單位不變，建立直角坐標(biāo)系，已知曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2，直線l的參數(shù)方程 （t為參數(shù)）．
（1）寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為 ，求C在此變換下得到曲線C'的方程，并求曲線C′內(nèi)接矩形的最大面積．

【答案】
（1）解：把直線l的參數(shù)方程 （t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為 2x+y﹣2=0．

曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2，即 ρ2=2，即 ρ= ．


（2）解：設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為 ，

曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 +Y2=2，即 + =1．

曲線C'的參數(shù)方程為 ，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|，

故當(dāng)α= 時(shí)，曲線的內(nèi)接矩形的面積最大為8．


【解析】（1）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2，即ρ2=2，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．（2）先求得曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 +Y2=2，再求得曲線C'的參數(shù)方程為 ，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|，由此可得曲線的內(nèi)接矩形的面積最大值．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給定橢圓C： =1（a＞b＞0），稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O，半徑為 的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（ ，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線l1 ， l2交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N．
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l1 ， l2的方程并證明l1⊥l2；
（ⅱ）求證：線段MN的長(zhǎng)為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若存在正常數(shù)a，b，使得x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，則稱(chēng)f（x）為“限增函數(shù)”．給出下列三個(gè)函數(shù)：①f（x）=x2+x+1；② ；③f（x）=sin（x2），其中是“限增函數(shù)”的是（ ）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從該城市居民中隨機(jī)抽取3人，記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值（精確到0.01），并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是8，則判斷框內(nèi)m的取值范圍是（ ）
A.（30，42]
B.（42，56]
C.（56，72]
D.（30，72）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】知 =（2λsinx，sinx+cosx）， =（ cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函數(shù)f（x）= 的最大值為2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cosA= ，若f（A）﹣m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)P在圓C：x2+y2=4上，而Q為P在x軸上的投影，且點(diǎn)N滿足 ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若A，B是曲線E上兩點(diǎn)，且|AB|=2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)兩條直線l1：ax+by=2與l2：x+2y=2平行的概率為P1 ， 相交的概率為P2 ， 則點(diǎn)P（36P1 ， 36P2）與圓C：x2+y2=1098的位置關(guān)系是（ ）
A.點(diǎn)P在圓C上
B.點(diǎn)P在圓C外
C.點(diǎn)P在圓C內(nèi)
D.不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= cos2x﹣2cos2（x+ ）+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0， ]上的最值．

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