Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過點(0，)，點F是橢圓的右焦點，點F到左頂點的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等．過點F的直線交橢圓于M，N兩點．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)MF＝2FN時，求直線的方程；

（3）若直線上存在點P滿足PM·PN＝PF2，且點P在橢圓外，證明：點P在定直線上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）由題意，b＝，再由點F到左頂點的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等，得a+c＝，結(jié)合隱含條件解得a＝2，c＝1，則橢圓方程可求；

（2）當(dāng)直線l與x軸重合時，求得MF＝3NF，不合題意；當(dāng)直線l與x軸不重合時，設(shè)直線l的方程為x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及MF＝2FN求得m值，則直線方程可求；

（3）當(dāng)直線l的斜率為0時，設(shè)P（x0，y0），由PMPN＝PF2，求得，當(dāng)直線l的斜率不為0時，由（2）中的根與系數(shù)的關(guān)系及PMPN＝PF2，求得，代入直線方程得，由此可得點P在定直線上．

（1）設(shè)橢圓的截距為2c，由題意，b＝，

由點F到左頂點的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等，得a+c＝，

又a2＝b2+c2，聯(lián)立解得a＝2，c＝1．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）當(dāng)直線l與x軸重合時，M（﹣2，0），N（2，0），此時MF＝3NF，不合題意；

當(dāng)直線l與x軸不重合時，設(shè)直線l的方程為x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．

①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，

聯(lián)立①③得，，

代入②得，，解得．∴直線方程為；

（3）當(dāng)直線l的斜率為0時，則M（2，0），N（﹣2，0），設(shè)P（x0，y0），

則PMPN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵點P在橢圓外，∴x0﹣2，x0+2同號，

又，解得．

當(dāng)直線l的斜率不為0時，由（2）知，，

．

∵點P在橢圓外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同號，

∴PMPN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝

，

整理得，代入直線方程得．∴點P在定直線上．