【題目】已知橢圓C：（）的一個焦點為，點在C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓長軸的兩個端點分別為，，與相交于點Q，求證：點Q在某條定直線上.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）橢圓C的兩焦點分別為，，由，可求得的值，結(jié)合橢圓的定義，可求得的值，再結(jié)合，可求出的值，進而可得到橢圓C的方程；

（2）設l方程為，聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，設，，可表示出、的方程，聯(lián)立兩直線方程，并結(jié)合韋達定理，可證明點Q在某條定直線上.

（1）依題意，橢圓C的兩焦點分別為，，

則，

所以，即，

又，所以，

故橢圓C的方程為.

（2）設，，l的方程為，

聯(lián)立，得，

設，，則，

故，.

又的方程為，的方程為，

聯(lián)立兩直線方程得，

即，

因為，所以，

整理得.

故點Q在定直線上.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖為我國數(shù)學家趙爽約3世紀初在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為　　

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，且，橢圓經(jīng)過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過橢圓右頂點，交橢圓于另一點，點在直線上，且.若，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，為上一點，為的中點，且，，現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2)，使平面平面.

（1）求證：平面平面.

（2）能否在邊上找到一點(端點除外)使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

組別

男

2

3

5

15

18

12

女

0

5

10

10

7

13

(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？

(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”．視頻率為概率．

①在我市所有“環(huán)保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率；

②為了鼓勵市民關(guān)注環(huán)保，針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：

紅包金額（單位：元）

10

20

概率

現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學期望．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國大學先修課程，是在高中開設的具有大學水平的課程，旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練，為大學學習乃至未來的職業(yè)生涯做好準備.某高中開設大學先修課程已有兩年，兩年共招收學生2000人，其中有300人參與學習先修課程，兩年全校共有優(yōu)等生200人，學習先修課程的優(yōu)等生有60人.這兩年學習先修課程的學生都參加了考試，并且都參加了某高校的自主招生考試（滿分100分），結(jié)果如下表所示：

分數(shù)

人數(shù)

20

55

105

70

50

參加自主招生獲得通過的概率

0.9

0.8

0.6

0.5

0.4

（1）填寫列聯(lián)表，并畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過圖形判斷學習先修課程與優(yōu)等生是否有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？

優(yōu)等生

非優(yōu)等生

總計

學習大學先修課程

沒有學習大學先修課程

總計

（2）已知今年有150名學生報名學習大學先修課程，以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率.

①在今年參與大學先修課程的學生中任取一人，求他獲得某高校自主招生通過的概率；

②設今年全校參加大學先修課程的學生獲得某高校自主招生通過的人數(shù)為，求.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年10月1日，慶祝中華人民共和國成立70周年大會、閱兵式、群眾游行在北京隆重舉行，這次閱兵編59個方（梯）隊和聯(lián)合軍樂團，總規(guī)模約1.5萬人，各型飛機160余架、裝備580余套，是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.某機構(gòu)統(tǒng)計了觀看此次閱兵的年齡在30歲至80歲之間的100個觀眾，按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值及這100個人的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）用分層抽樣的方法在年齡為、的人中抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取2人接受采訪，求接受采訪的2人中年齡在的恰有1人的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點，若線段的中點Q在C的漸近線上，則C的兩條漸近線方程為__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

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