【題目】如圖,矩形中,的中點,將沿直線翻折成,連結(jié)的中點,則在翻折過程中,下列說法中所有正確的序號是_______.

①存在某個位置,使得;

②翻折過程中,的長是定值;

③若,則

④若,當(dāng)三棱錐的體積最大時,三棱錐的外接球的表面積是.

【答案】②④

【解析】

對于①,取AD中點E,連接ECMDF,可得到ENNF,又ENCN,且三線NE,NF,NC共面共點,不可能,

對于②,可得由∠NEC=∠MAB1(定值),NEAB1(定值),AMEC(定值),由余弦定理可得NC是定值.

對于③,取AM中點O,連接B1O,DO,易得AM⊥面ODB1,即可得ODAM,從而ADMD,顯然不成立.

對于④:當(dāng)平面B1AM⊥平面AMD時,三棱錐B1AMD的體積最大,可得球半徑為1,表面積是4π.

對于①:如圖1,取AD中點E,連接ECMDF,則NEAB1,NFMB1,

如果CNAB1,可得到ENNF,又ENCN,且三線NENF,NC共面共點,不可能,故①錯.

對于②:如圖1,可得由∠NEC=∠MAB1(定值),NEAB1(定值),AMEC(定值),

由余弦定理可得NC2NE2+EC2﹣2NEECcos∠NEC,所以NC是定值,故②正確.

對于③:如圖2,取AM中點O,連接B1O,DO,易得AM⊥面ODB1,即可得ODAM,從而ADMD,顯然不成立,可得③不正確.

對于④:當(dāng)平面B1AM⊥平面AMD時,三棱錐B1AMD的體積最大,易得AD中點H就是三棱錐B1AMD的外接球的球心,球半徑為1,表面積是4π.故④正確.

故答案為:②④.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓上的點到焦點的最長距離為

1)求橢圓C的方程;

2)過點P02)的直線l(不過原點O)與橢圓C交于兩點AB,M為線段AB的中點.

(。┳C明:直線OMl的斜率乘積為定值;

(ⅱ)求OAB面積的最大值及此時l的斜率.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系(),點為曲線上的動點,點在線段的延長線上,且滿足,點的軌跡為

(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)點的極坐標(biāo)為,求面積的最小值。

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【題目】已知橢圓的焦點到短軸的端點的距離為,離心率為

1)求橢圓的方程;

2)過點的直線交橢圓兩點,過點作平行于軸的直線,交直線于點,求證:直線恒過定點.

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【題目】如圖,點為圓上一動點,過點分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,連接延長至點,使得,點的軌跡記為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若點,分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點,試問在曲線上是否存在點,使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.

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【題目】下列說法中所有正確的序號是_________

①兩直線的傾斜角相等,則斜率必相等;

②若動點到定點和定直線的距離相等,則動點的軌跡是拋物線;

③已知、是橢圓的兩個焦點,過點的直線與橢圓交于、兩點,則的周長為;

④曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),則它表示雙曲線且漸近線方程為;

⑤已知正方形,則以、為焦點,且過、兩點的橢圓的離心率為.

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【題目】設(shè)曲線所圍成的封閉區(qū)域為D.

1)求區(qū)域D的面積;

2)設(shè)過點的直線與曲線C交于兩點P、Q,求的最大值.

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【題目】已知動圓過定點,并且內(nèi)切于定圓.

1)求動圓圓心的軌跡方程;

2)若上存在兩個點,,(1)中曲線上有兩個點,,并且,,三點共線,,,三點共線,,求四邊形的面積的最小值.

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【題目】中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)

平均每天鍛煉的時間/分鐘

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達標(biāo)”.

(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;

鍛煉不達標(biāo)

鍛煉達標(biāo)

合計

20

110

合計

并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標(biāo)”與性別有關(guān)?

(2)在“鍛煉達標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出10人,進行體育鍛煉體會交流,

(i)求這10人中,男生、女生各有多少人?

(ii)從參加體會交流的10人中,隨機選出2人作重點發(fā)言,記這2人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式:,其中.

臨界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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