Question

（2012•德州一模）已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

(x∈R)
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，△ABC的面積等于3，求邊長a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用二倍角公式以及兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的周期，根據(jù)x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，集合正弦函數(shù)的值域求出所求函數(shù)的值域．
（Ⅱ）根據(jù)題目的條件，求出cosA，sinA以及c的值，通過余弦定理求解即可得到a的值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

），
故f（x）的最小正周期為π，x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所求函數(shù)的值域為[-

1

2

，1]．
（Ⅱ）∵f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，∴cosA=

4

5

，∴sinA=

3

5

，
∵S=

1

2

bcsinA，b=2，sinA=

3

5

，
∴c×

3

5

=3，∴c=5
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=4+25-2×2×5×

4

5

=13，
∴a=

13

．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．